Exercice n°1: (5 points)

On veut fabriquer une boîte de conserve cylindrique avec couvercle de volume V donné.

Quelle relation doit-il exister entre la hauteur et le rayon pour que la surface soit minimum ?

Exercice n°2: (5 points)

Déterminer les branches infinies de la courbe d’équation .

Exercice n°3: (8 points)

Soit la matrice

1) Diagonaliser la matrice [A] après avoir calculé les valeurs propres.

2) Donner la matrice de passage [P] de l’ancienne base à la nouvelle (V₁,V₂ ,V₃) après avoir calculé ces vecteurs propres.

3) Calculer son inverse [P]^-1.

4) Démontrer par récurrence que [A]ⁿ = [P] [D]ⁿ [P]^-1. [D] étant la matrice diagonale semblable à [A] dans la nouvelle base.

5) Calculer [D]ⁿ. .

Exercice n°4: (2 points)

Calculer en posant le changement de variable h = x- pi/6, puis en utilisant les infiniments petits.