Le 4 décembre 1996. Sans documents ni calculatrices à mémoires.

Soit le polynôme défini par où j² = -1.

1) Calculer P(1+2j)

2) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.

Soient un repère orthonormé de base et les points A (1,3,2) B (2,0,1) et C (1,1,-2).

1) Calculer le produit vectoriel En déduire la surface du triangle (A,B,C).

2) Déterminer l’équation du plan passant par les trois points.

Remarque: Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Soit la matrice

1) Calculer .

3) Donner l’expression de l’équation caractéristique dét() = 0.

4) Calculer la matrice inverse de [A] par le théorème de Cayley-Hamilton (ou directement).

5) Comme on a calculé la matrice inverse de [A], donner les solutions de .