Exercice n°1:(10 points)

Soit la fonction y = f(x) = ln ( e + sin (e.x)). Lire sinus du produit de e et de x,

1°) Donner le domaine de définition de cette fonction.

2°) Quelle est la particularité de cette fonction?

3°) Calculer le développement limité de f(x) à l’ordre 3 au voisinage de 0.

4°) En déduire l’équation de la tangente en x = O.

5°) a) Calculer le développement limité de y en à l’ordre 1. Montrer que ce développement limité définit une droite horizontale qu’on nommera D .

b) Après avoir calculé f’(x), la dérivée de f(x), montrer que l’intersection de D et de f(x) donne les extremums de f(x).

c) Quelle est l ’équation de la droite qui minore f(x)?

Exercice n°2: (5 points)

On veut démontrer que la courbe représentative de y = ch x est coupée au plus en 2 points par une droite d’équation y = ax + b.

Pour cela faire une étude rapide de la fonction f définie par f(x) = ch x - (ax + b).

Pour quelle valeur de x passe-t-elle par un extremum ? Que vaut-il ?

A quelle condition l’équation f(x) = 0 admet-elle deux racines ?

Exercice n°3: (5 points)

Trouver la relation entre Arctan(x) + Arctan(y) + Arctan(z) = p .

Etudier la réciproque: Quelles conditions faut-il imposer pour que celle-ci soit vraie?

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