L’entreprise Lartronic S.A conçoit et commercialise des filtres passifs électroniques (Passe-bas , passe-haut et passe-bande). Ils se présente sous forme de circuits intégrés pouvant contenir de 2 à 4 filtres. Hormis leur catalogue, le client peut demander du "sur mesure" en donnant ses fréquences de coupure.

Il est donc nécessaire pour la conception de maîtriser les fonctions logarithmiques.

Illustration 1 : Filtre passe-bande

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De plus, nous avons vu dans le chapitre sur les complexes, que la notation exponentielle était la plus usité. Nous verrons ultérieurement que dans les mathématiques du traitement du signal elles seront encore présentes (Transformées de Laplace, transformées de Fourier).

1. Définition

On appelle logarithme népérien, noté ln ou Log, la primitive de la fonction pour x>0 et s’annulant pour x = 1.



Remarque épistémologique: Les deux fonctions logarithmes les plus utilisées sont celles à base e = 2,71828…. et à base 10 . On les appelait respectivement autrefois le grand log (Log)et le petit log (log). Aujourd’hui, logarithme népérien (ln) et logarithme à base 10 (log)

 

2. Propriétés

2-a) Propriété fondamentale



Démonstration :

Considérons la fonction ln (a.x)

Sa dérivée est .

Si on intègre cette égalité on obtient ln(a.x) = lnx + C

En posant x = 1 , et à l’aide de la définition on obtient que lna = C

Et en posant enfin x = b

 

2-b) Conséquences











 

3. Etude la fonction y = lnx
• Par construction, la fonction logarithme népérien est définie, continue et dérivable sur
• Sens de variation strictement croissante
• Branches infinies

* En l’infini

et x>1 est toujours comprise entre 2 puissances successives de a :





comme alors donc

Recherchons maintenant



D’après le graphique, il est évident que lnx est inférieur au rectangle (1,x,B,A)

Démonstration :















L’axe Ox est donc Branche Parabolique de Direction Asymptotique .

 

Plus généralement, on retiendra avec

 

* En zéro

Dans la recherche de , posons ce qui nous permet

d’écrire :



La courbe possède donc une asymptote verticale en x = 0.

• Le tableau de variations donne donc :



 

On remarque que pour x = 1 , y = 0 , y’(1) = 1

Pour x= e » 2.71828 , y = 1

 

La dérivée seconde nous donne une concavité toujours tournée vers les y négatifs.



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4. A propos de la dérivée et de la primitive

4-a) On remarque que la fonction g(x) = ln(1 + x) est dérivable en zéro, son calcul

nous donne

.

Ce qui nous permet d’écrire l’infiniment petit :

4-b) Calculons la dérivée de y = ln|x|

si x>0 Þ y = lnx Þ y’=

si x<0 Þ y = ln(–x) Þ y’ =

alors on retiendra ou encore où u(x) est une fonction de x.

1. Définition

On appelle logarithme de base a, notée , la fonction définie par



Regardons la variation de cette courbe en calculant la dérivée

Donc si

Et si

On peut aussi remarquer

D’ou les courbes

 



 

2. Changement de base

Il est très utile de passer d’un logarithme à une base a donnée à un logarithme d’une autre base b par exemple. Le cas le plus connu pour les scientifiques étant le passage du logarithme népérien au logarithme de base 10 ( noté maintenant log x) dont la réciproque, que nous définirons après, est utilisée dans tous les domaines de la physique et de la chimie.

Soit donc b une nouvelle base.

D’où la formule du changement de base

Cas particulier à retenir : a = e et b = 10

D’où et inversement

1. Définitions

Les fonctions sont continues et monotones pour x>0. Elles réalisent de ce fait une bijection de R^*+ sur R et sont donc inversibles. Leurs fonctions réciproques sont appelées exponentielles de base a et notée exp_a et sont définies

par ou

Ces fonctions sont continues et monotones pour tout x et établissent une bijection de R sur R^*+ avec

Les points particuliers sont définis par :





On notera les deux fonctions exponentielles essentielles

et

2. Propriétés

entraîne

ou

Nous avons vu précédemment que " Puissance l’emporte sur logarithme ", on retiendra de la même façon que " exponentielle l’emporte sur puissance "

avec

Ce sont des fonctions dont la présentation est de la même forme qu’une exponentielle ou une fonction puissance, mais où u(x) et v(x) sont des fonctions de x.

Il est cependant impossible d’étudier ces fonctions telles qu’elles se présentent. Il faut revenir à une notation exponentielle classique.

On retiendra cette dernière expression.

Lorsqu’on étudie un phénomène représenté par une fonction f(x) sur une gamme étendue de valeurs de x, l’échelle linéaire pour les abscisses est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique, en général de base 10. Elle permet de " dilatée " les faibles et les fortes valeurs.

En appelant a la distance entre les extrémité d’une décade (dizaine), on place x sur l’échelle logarithmique à l’aide de son représentant a .log x . Ce qui nous donne :

VII Le Décibel (dB)

Dans les disciplines de l’électricité (électronique, électrotechnique, automatique ,…), on est amené à faire l’étude des systèmes linéaires nécessite le calcul du module d’une fonction de transfert, de la forme . On exprime ce module en décibel à l’aide de la relation :

et est appelé gain. w est la pulsation (w ³ 0)

Prenons en exemple le cas d’un système du premier ordre :

D’où le gain G exprimé en dB :

Prenons quatre valeurs particulières :

• Si , alors G = –0,0432 dB
• Si , alors G = –3 dB
• Si , alors G = –20 dB
• Si , alors G ®

On remarque ainsi que pour les grandes valeurs de w la courbe représentative de G en échelle logarithmique admet donc pour asymptote une droite dont la pente par décade est

Ci-dessous seront tracées trois courbes :

, en échelle linéaire pour x =

, en échelle logarithmique pour x

, en échelle logarithmique pour x

On observe que la courbe 1 est peu lisible pour les petites et grandes valeurs de x. Par contre les courbes 2 et 3 sont exploitables pour toutes les valeurs de x . On remarque de plus que la courbe 3 fait apparaître l’asymptote G = –20.log x

Figure 1

Figure 2

Figure 3