Exercice :

Calculer:

S = et S' =

(On pourra utiliser S + i.S')

Exercice :

Transformer en un produit les expressions:

cos(a + b + c) + cosa + cosb + cosc ;

Exercice :

En supposant a + b + c = p , simplifier les expressions:

;

Exercice :

Démontrer que

Exercice :

Dans le corps des complexes, résoudre l'équation , où z est l'inconnue et le conjugué de z

Problème :

Un peu d'histoire:Cardan (Gerolamo Cardano en fr: jérôme), mathématicien, médecin et philosophe italien, né à Pavie (1501-1576). Il généralisa et développa la résolution des équations du 3ème degré et imagina le mode d'articulation qui porte son nom.

En étudiant l'équation du troisième degré x³ + px = q; Cardan trouve, lorsque p est positif, la racine réelle de cette équation sous la forme :

1°) Soit l'équation a.x³ + b.x² + c.x + d = 0 , où a, b, c, et d sont des nombres complexes tels que a ¹ 0.

On pose .

Montrer qu'on se ramène à la résolution d'une équation du type z³ + p.z + q = 0 (E1), où p et q sont des nombres complexes.

Montrer que l'équation E1 admet au moins une racine réelle lorsque p et q sont réels.

2°) z étant un nombre complexe satisfaisant E1, on pose z = u + v, avec 3uv + p = 0. Montrer que u³ et v³ sont les racines y₁ et y₂ d'une équation du second degré que l'on formera. Comment faut-il associer les racines cubiques de y₁ et y₂ pour que leur somme soit racine de E1?

Effectuer les calculs lorsque p et q sont réels (distinguer les cas 4p³ + 27q² > 0

et 4p³ + 27q² < 0).

Retrouver les formules de Cardan ci-dessus.

Résoudre sur C les équations x³ – 2x – 12 = 0 et x³ – 15x – 4 = 0.

3°) a , b et g désignant les racines de E1, démontrer que z = (a + b .j + g .j²)³ ,où , ne prend que deux valeurs z₁ et z₂ lorsque l'on permute a , b et g de toutes les manières possibles.

Former l'équation du second degré admettant z₁ et z₂ pour racines. En déduire une méthode de résolution de E1. Effectuer les calculs lorsque p et q sont réels.

4°) a) En exprimant cos3a en fonction de cosa , montrer que l'équation cos3a = a se ramène à une équation du troisième degré du type x³ + px + q = 0, avec 4p³ + 27q² < 0, lorsque l'on suppose |a|<1.

b) Réciproquement, étant donnés deux réels p et q tels que 4p³ + 27q² < 0, montrer qu'il existe des réels r et j tels que E1 admette pour racines : r cosj, r .cos(j + 2p /3), r.cos(j + 4p/3). Calculer r et cos 3j en fonction de p et q.

Résoudre sur C l'équation x³ – 4x + 1 = 0.