Un capital est placé au taux annuel de 10 % à intérêts composés. Au bout de combien de temps le capital aura-t-il doublé ? Triplé ?

Problème 2 :

Une formule empirique permet d'estimer la taille d'un enfant en âge préscolaire. Si h(x) exprime la taille ( en cm) à l'âge x (en années) pour 1/4 £ x £ 6, alors h(x) est définie par :

h(x) = 70,228 + 5,104.x +9,222.lnx

1. Quelle sera la taille probable et quel sera le taux de croissance d'un enfant qui atteint l'âge de deux ans ?
2. A quel âge le taux de croissance est-il le plus élevé ?

Problème 3 :

Chercher une équation de la tangente au point P(3 ; 9) à la courbe représentative

y = x² + ln(2x - 5).

Problème 4 :

1. Exprimer f(x) à l'aide de lnx.
2. Montrer que la dérivée vaut .
3. Dresser le tableau de variation.
4. Représenter graphiquement la fonction.
5. Déterminer l'intensité du trafic à 0,01 près pour une dimension de mémoire tampon de 64 (par le calcul et graphiquement).

Une roquette de masse m₁ est remplie d'un combustible de masse m₂ qui sera consommé au taux constant de b kg/s . Si le combustible est expulsé de la roquette de façon constante, la distance s(t) (en m) qu'elle aura parcourue en t secondes est donnée par : , où c est une constante positive.

1. Quelle est la vitesse initiale et l'accélération initiale de la roquette ?
2. L'extinction se produit au moment t = m₂ / b. Quelle est la vitesse et l'accélération à ce moment ?

Problème 6 :

Une substance radioactive se désintègre suivant la loi , où q₀ est la quantité initiale de la substance, c une constante positive et q(t) la quantité résiduelle au moment t. Montrer que la vitesse de désintégration est proportionnelle à q(t).

Problème 7 :

Lorsqu'un médicament est injecté dans le sang, sa concentration t minutes plus tard est donnée par : , où a , b et k sont des constantes positives.

1. A quel moment la concentration sera-t-elle maximale ?
2. Que peut-on dire de la concentration après une longue période de temps ?
3. Pour k = 6; a = 1,2 et b = 1,728, à quel moment la concentration sera-t-elle d'un cinquième de la valeur maximale ?

Problème 8 :

La fonction de croissance W de von Bertanlanffy donne approximativement le poids W(t) ( en kg) en fonction de l'âge t (en années) des éléphants africains femelles. Son expression est :

1. Evaluer le poids et le taux de croissance d'une nouvelle née ?
2. Estimer l'âge et le taux de croissance d'une femelle de 1800 kg.
3. Calculer et interpréter lim_{t® +¥} W(t) ?
4. Montrer que le taux de croissance le plus fort se situe entre 5 et 6 ans .

Problème 9 :

Un millier de truites, âgées d'un an, sont jetées dans un grand étang. On prévoit qu'après t années , le nombre de truites encore en vie sera N(t) = 1000.(0,9)^t .

Quel est approximativement le taux de mortalité dN/dt quand t = 1, quand t = 5 ?

A quelle vitesse décroît la population quand N = 500 ?

Le poids P(t) (en grammes) d'une truite devrait augmenter selon la formule P(t) = 90 + 770.t. Après combien d'années le poids total des truites de l'étang sera-t-il maximal ?