Soient f et g deux fonctions définies et continues respectivement sur les intervalles D_f et D_g de R. Soit une variable réelle t.

Soit dans le plan rapporté à un repère le point M(x,y) défini par , pour toutes les valeurs de t, appartenant à D_f D_g.

L'ensemble des points M(x,y) définit une courbe dont le système constitue la représentation paramétrique. La variable t est le paramètre.

Une courbe dont on a la représentation paramétrée ne peut pas s'écrire forcément par une représentation cartésienne y = f(x), car à deux valeurs différentes du paramètre peuvent correspondre plusieurs points de même abscisse, ce qui interdit la notion de fonction.

En éliminant le paramètre t entre x et y, on peut obtenir f(x,y)=0 .

Il est obtenu par intersection des ensembles de définition de f(t) et g(t).

D = D_f D_g

Exemple: D_f = [-1,+µ [ D_g = ]-µ ,1] d'où D = [-1,1]

C'est l'ensemble des valeurs du paramètre par lesquels on obtient toute la courbe, une seule fois.

Exemple: Si on remplace t par -t, on obtient le même point ici D_u = R^+* .

Théorème: Si les fonctions sont paires, ou le deviennent après un même changement de variable, on peut restreindre l'ensemble de définition à un ensemble utile.

Théorème: Si f et g sont périodiques de période T_f et T_g et s'il existe (a,b) Î N^2* tel que a.T_f = b.T_g alors la période d'étude vaut T = a.T_f = b.T_g.

Exemple: comme 2.T_f = 3.T_g alors T = 2.p

Il se déduit du domaine utile à l'aide de transformations géométriques simples (symétries ou translation).

Soit t₁ Î T₁ et t₂ Î T₂ avec t₂ = j (t₁) si il y a symétrie par rapport à 0x.

Exemple 1: D_u = 2.p comme t₂ = j (t₁) = - t₁ Þ D_e = p

Exemple 2: On remarque que entraîne avec T₁ = [-1,0[ È ]0,1] T₂ = ]-µ ,-1]È [1,µ [

On peut prendre alors par exemple D_e = [-1,1]

De même si t_1Î T₁ t₂ Î T₂ et il y a symétrie par rapport à 0y

S'il existe un réel positif T tel que:

X(t +n.T) = x(t) + n.x(t)

y(t +n.T) = y(t) + n.y(t)

n Î Z

On peut alors réduire le domaine utile D_u au domaine d'étude D_e = [t₀,t₀ + T].

Exemple: alors D_e = [0,2p ].

Le coefficient directeur de la tangente en (x₀ , y₀) pour t₀ , est pour f'(t₀) ¹ 0 et si f'(t₀) = 0 et g'(t₀) ¹ 0, la tangente est parallèle à l'axe 0y.

C'est un point pour lequel f'(t₀) = g'(t₀) = 0. On cherche alors m en effectuant les dérivées successives jusqu'à temps que f⁽ⁿ⁾(t0) ou g⁽ⁿ⁾(t₀) ne soit pas nulle

D'où .

Exemple: A t₀ = 0 M₀ (1,0)

x'(t) = 2t - sin2t x'(0) = 0

y'(t) = 3t² y'(0) = 0

x''(t) = 2- 2cos2t x''(0) = 0

y''(t) = 6t y''(0) = 0

x'''(t) = 4sin2t x'''(0) = 0

x'''(t) = 6 y'''(0) = 6 On trouve donc ici que m ® µ

Remarque: En cinématique, les points singuliers sont appelés points stationnaires car leur vitesse est nulle.

IV-1 Si la tangente est parallèle à l'un des axes 0x ou 0y, la simple étude de f et g fourni l'allure de la courbe.

IV-2 Si la tangente est quelconque, on est amené à étudier le sens de variation de m:

• La courbe a une allure ordinaire si x et y gardent le même sens de variation.

• La courbe présente un point de rebroussement de première espèce si x et y changent de sens de variation.

• La courbe possède un point d'inflexion si x et y gardent le même sens de variation.

• La courbe présente un point de rebroussement de seconde espèce si x et y changent de sens de variation.

La courbe présente un point double M_d s'il existe deux valeurs t₁ et t₂ de l'ensemble utile D_u telles que M(t₁) et M(t₂) sont confondus.

La recherche de ces points s'effectue en résolvant le système t₁ ¹ t₂ sur D_u

Une courbe admet une branche infinie lorsque t tend vers t₀ ou l'infini si
et /ou

* Si et x = x₀ est asymptote.

* Si et y = y₀ est asymptote.

* L'étude est la même que pour les fonctions en menant et .

1. Chercher D puis Du puis De.
2. Etude séparée de f et g.

3) Dresser la tableau suivant:

4) Précisez les points particuliers: stationnaires, multiples, d'inflexion et de rebroussement.

5) S'il y a lieu, étudier les branches infinies.

6) Tracé de préférence dans un repère orthonormé.