intégrable sur tout fermé de R, on appelle série de
Fourier de f, la série trigonométrique:
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SERIES DE FOURIER.
Développement en série de Fourier.
I DEFINITIONS.
1) Série de Fourier.
Soit f une fonction périodique, de période
intégrable sur tout fermé de R, on appelle série de
Fourier de f, la série trigonométrique:
2) Théorème de Fourier.
Toute fonction périodique f, non sinusoïdale, continue sur tout intervalle
=
( sauf éventuellement en un nombre fini de points de discontinuité
de première espèce ) et dérivable sur cet intervalle,
peut se décomposer en une somme infinie de fonctions sinusoïdales
dont les fréquences sont des multiples de celle de la fonction f:
f(t) = A0 + Y1 sin( w t – j 1) + Y2 sin(2w t – j 2) + ... + Y n sin(n w t – j n) + ... .
A0 = Terme constant, valeur moyenne (en mathématiques
on utilise aussi
).
Y1 sin(w t – j 1) = terme fondamental (harmonique de rang 1).
Y2 sin(2w t – j 2) = terme harmonique de rang 2.
Yn sin(nw t – j n) = terme harmonique de rang n.
ou encore
avec un(t) = Yn sin(n w t – j n ) = An cos(nw t) + Bn sin(nw t).
An = Yn cosj
n Yn = 
Bn = Yn sinj
n j n =
.
Remarque : La série de Fourier est convergente sur R.
3) Ecriture complexe.
un (t) = 
+
= 
+
en posant Cn =
= Cn
+
comme =
= Cn +
d’où f(t) = A0 +
en posant C0 = A0 =
II CALCUL DES COEFFICIENTS.
On prendra 
et l’intervalle
=
.
1) Calcul de A0 .
=
+
dt.
or 
=
= 0
= A0.
= A0.T .
2) Calcul de An.
Calculons 
=
= 
In Jn
In = 
.
si 
In = 0
si 
In =
= 
= 
.
Jn = 
= 0
n et p.
D’où 
=
= An.
.
double de la valeur moyenne de f(t)cosn w t.
3) Calcul de Bn .
On calcule de même
. p
Î N
et
double de la valeur moyenne de f(t)sinn w t.
III PROPRIETES DES COEFFICIENTS
1) 
2) Cas où f est une fonction paire
=
Bn = .
= 0
" n
Î N*.
An = .
=
.
.
Dans le cas où f est paire, la série de Fourier est une série de cosinus avec
A0 = 
.
.
3) Cas où f est une fonction impaire
=
.
de même que précédemment
An = .
= 0
"
n Î N.
Bn = 
.
Si f est impaire, la série de Fourier est une série de sinus.
Exemple: Développez en série de Fourier la fonction f de période T = 2p définie par f(t) = t si t Î ] -p , p [.
Représentons cette fonction:
La fonction est impaire et se développe en une série de sinus.
An = 0
Calculons Bn
T = 2p w = 1
Bn = 
.
=
.
=
= 
= 
= 
=
.
.
d’où f(t) =
en développant f(t) = 
On remarque que la valeur des coefficients décroît (
).
4) Autres symétries.
Þ A0 = 0 B2k = 0
Il n’y a pas de terme en sinus d’harmonique paire.
Þ A2k = 0
Il n’y a pas de terme en cosinus d’harmonique paire.
et Þ B2k+1 = 0 Il n’y a pas de terme en sinus d’harmonique impaire.
Þ B2k = 0 Il n’y a pas
de terme en sinus d’harmonique paire.
et Þ A2k+1 = 0 Il n’y a pas de terme en cosinus d’harmonique impaire.
5) Cas d’une fonction translatée.
Soit f une fonction périodique, développable en série de Fourier
f(t) =.
On considère la fonction g telle que g(t) = f(t – t0).
On montre que
Application: On appelle spectre de fréquence d’une fonction périodique du temps, le diagramme en bâtons obtenu en représentant |Cn | en fonction de n.
On représente aussi fréquemment en ordonnées le rapport
, qui permet de relativiser
les harmoniques présentes par rapport au fondamental.
Tout changement d’origine laisse le spectre invariant. E
Exemple: la fonction prise précédemment:
f(t) = .( §III-3)
B1 = 2, B2 = -1, B3 = 2/3, B4 = -1/2, B5 = 2/5, B6 = -1/3 ... .
