Corrigé des complexes

Exercice V:

Aide:

1) Pas d'aide .

2) Non plus

3) Comme la limite dépend de x , passez en module.

4) Pensez à la variation de la fonction exponentielle e^x .

5) Discutez sur le module et l'argument pour conclure sur z .

Corrigé:

1) |e^z .e^z'|=|e^z |. |e^z'|= e^x . e^x' = e^{x + x'}
(car il s'agit de l'exponentielle définie sur 3)

arg(e^z .e^z' ) = arg(e^z )+ arg(e^z' ) = y + y'

Le complexe (e^z .e^z' ) est complètement déterminé: e^z .e^z' = e^{x + x'}.e^{i.(y + y')} .

Développons maintenant e^{z + z'} = e^{(x + x') + i.(y + y')} = e^{(x + x')}. e ^{i.(y + y')} (cqfd)

2) . (x est réel)

3)

4) et . Comme ce sont des exponentielles réelles, et que la fonction exponentielle est croissante sur 3.

" x Î 3 " y Î 3 x £ Ö (x² + y² ) Þ e^x £ e^{Ö (x² + y² )} Þ cqfd

5) e^z = –1 Þ une infinité de solution du type z = i. (p + 2k.p ) k Î 9

e^z = –3 Þ une infinité de solution du type z = ln(3) + i. (p + 2k.p ) k Î 9

e^z = i Þ une infinité de solution du type z = i. (p /2 + 2k.p ) k Î 9