Par récurrence:

Au rang 1: vrai

Au rang n

Hypothèse:

Démonstration :

On simplifie haut et bas par pour faire apparaître le bon dénominateur d'où:

Maintenant il faut vérifier le terme de plus haut degré du numérateur N(x).

Soit P_n(x) = a_n. xⁿ + ...

Et P'_n(x) = n.a_n.x^n–1 + ...

Donc le terme de plus haut degré du numérateur vaut :

Pour la question suivante, c'est automatique, il suffit de regarder le numérateur de f^{(n + 1)} .