Dérivées. Différentielles.
Dérivation implicite. Taux liés
- Trouver la dérivée de y (on utilisera la définition de la dérivée)
- Calculer les dérivées suivantes :
1-1 On
examinera le cas pour lequel la fonction cesse d'être continue.
|
1-2 |
1-3
On examinera f '(0).
|
2-1.. |
2-2.. |
2-3.. |
- Déterminer
- Calculer
- Vérifier que la dérivée énième de la fonction
- Déterminer la dérivée première
- Démontrer que
- Déterminer la pente de la courbe représentative de
- Un point se déplace le long de la courbe d’équation
- Déterminer les dérivées énièmes de:
- Soit
- Déterminer
- Soit la courbe définie par
- Montrer que les courbes
- Déterminer les points de la courbe d’équation
- Déterminer les équations de la tangente et de la normale à la courbe d ‘équation
- Déterminer l’angle d’intersection des deux courbes d’équation
- Déterminer l’angle d’intersection des deux courbes d’équation
- Déterminer l’angle d’intersection des cercles d ‘équation
- Montrer que pour le cercle
- Montrer que la courbe
- Etudier la concavité et les points d’inflexion des courbes d'équations suivantes :
- Déterminer l’équation des tangentes aux points d’inflexion de
- Un courant électrique circulant dans un bobinage circulaire de rayon r exerce une force
- Un navire scientifique repère un cachalot et, de l’avis de l’équipage, ce dernier mesure 9,75 m, avec une erreur possible de ± 0,6 m. On sait que le poids P (en tonnes) est fonction de la longueur L selon la formule
- La puissance fournie par une pile de fem constante E, de résistance interne r, débitant un courant continu traversant une résistance extérieure R est égale à
- Un phare H est situé à 60 m du point P le plus proche du littoral. Son rayon lumineux accomplit une révolution complète en 15 secondes. Déterminer à quelle vitesse le rayon lumineux balaie le littoral en un point S situé à 120 m de P. A quelle vitesse balaie-t-il P?
- Du gaz s’échappe d’un ballon sphérique au rythme de 2 m3/min. A quelle vitesse diminue la surface du ballon si le diamètre est de 12 m à l’instant initial ?
- Un navire A vogue vers le sud à la vitesse de 16 miles/h et un second navire B, situé à 32 miles au sud de A, vogue vers l’est à 12 miles/h. A quel moment cesseront-ils de se rapprocher et à quelle distance seront-ils l’un de l’autre ?
- Soit
- Du liquide s’écoule dans un réservoir cylindrique vertical à raison de 8 m3/min. Le réservoir à un rayon de 6 m . A quelle vitesse s’élève le niveau ?
- Un parc rectangulaire a deux de ses côtés adjacents le long des RN 51 et RN 69. Dans ce parc se trouve un petit lac dont l’une des extrémité ; P se trouve à 256 m de la RN 51 et à 108 m de la RN 69. Déterminer la longueur du sentier le plus court joignant la RN 51 et la RN 69 passant par P.
- Deux côtés d’un triangle mesure 15 et 20 cm. A quelle vitesse augmente le troisième côté si l’angle formé par les deux premiers, étant de 60°, augmente de 2°/s ? A quelle vitesse la surface augmente-t-elle ?
- Un réservoir d’eau potable a la forme d'un cône, pointe en bas, de rayon 3 mêtres et de hauteur 15 mêtres. On le remplit à raison de 5 m3/min. Exprimez la variation d'hauteur en fonction du débit. Que vaut cette variation quand la hauteur est de 1 m, 7 m et 14 m ? En combien de temps est-il complètement rempli ?
- Le lancer d’une fusée a lieu à 8 kilomètres d’une station d’observation, située à la même altitude que le point de lancer. Pendant les 20 premières secondes, son angle d’élévation q varie de façon constante, à raison de 2° par seconde ? Quelle est la vitesse de la fusée quand l’angle d’élévation est de 30°.
- Calculer les dérivées première et seconde de
- Calculer les dérivées première et seconde de
- Soit
- Déterminer les extremums locaux de f définie par
- Déterminer les extremums locaux de f définie par
lorsque 
dans
les deux fonctions suivantes:
4-1.. |
4-2.. |
.
est de la forme
, expression dans laquelle
Pn représente un polynôme de degré n. Montrer que
.
, des fonctions y = f(x) suivantes :
6-1.. |
6-2.. |
6-3.. |
6-4.. |
6-5.. |
6-6.. |
.
aux points où elle coupe l’axe des y.
avec
( t représente le temps). Quel est le taux d’accroissement de y pour
?
10-1.. |
10-2.. |
10-3.. |
. Déterminer
.
au point (1 ; 1)
de la courbe d’équation
.
. Calculer
et
au point
.
et 
se coupent à angle droit à l’origine.
où la tangente est horizontale, verticale.
au point (2 ; 4)
.
et 
.
et
.
et
.
, on a
n’admet pas d’extremums.
22-1..  |
22-2..  |
.
sur un petit
aimant situé à une distance x du centre du bobinage. Calculer pour quelle
valeur de x, la force F est maximale.
. A l’aide des différentielles, calculer approximativement l’erreur dans
l’estimation du poids du cachalot ( à 1/10 tonne près), l’erreur
relative et l’erreur relative en pourcentage.
.
Pour quelle valeur de R, cette puissance est maximale ?
où A, B et k sont des constantes. Monter que
et
.
.
Calculer les extremums locaux de f (on précisera la nature de l’origine).
. Etudier la
concavité et situer les points d’inflexion.
. Etudier la
concavité et situer les points d’inflexion.